题目

在 中， ，点 在 边上， ，分别连接 . （1） 如图1， 三点在同一条直线上. ①若 ，求 的长； ②求证： . （2） 如图2，若 ， 分别是 的中点，求 的值. 答案： 解：①∵ ΔADE∼ΔABC ， ∴ ∠ACB=∠AED ， 又∵ ∠BDC=∠ADE ， ∴ ΔADE∼ΔBDC ， ∴ ΔBDC∼ΔABC ， ∴ BCCD=ACBC . 设 AB=AC=x ，则 3x−2=x3 ， 解得 x=1+10 （负值已舍去），即 AB 的长为 1+10 ； ②证明：∵ ΔADE∼ΔABC，AB=AC ， ∴ AD=AE，∠DAE=∠BAC ， ∴ ΔABD≅ΔACE(SAS) ， ∴ CE=BD，∠ABD=∠ECD ， ∴ ΔABD∼ΔECD ， ∴ CE2=AB·CD 解：如图，连接 AN ，由（1）得 ΔABD≅ΔACE ， ∴ ∠ABM=∠ACN，BD=CE ， ∵ M，N 分别是 BD，CE 的中点， ∴ BM=CN ， 又∵ AB=AC ， ∴ ΔABM≅ΔACN(SAS) ， ∴ AM=AN，∠BAM=∠CAN ， ∵ ∠BAM+∠MAC=60° ， ∴ ∠CAN+∠MAC=60° ， ∴ ∠MAN=∠BAC=60° ， ∴ ΔAMN 是等边三角形， ∴ ΔAMN∼ΔABC ， ∵D是AC的中点， 设 AD=a ，则 AB=BC=2a ， ∴ BD⊥AC ， ∴ BD=AB2−AD2=4a2−a2=3a ， ∴ DM=32a ， ∴ AM=MN=AD2+DM2=a2+(32a)2=72a ， ∴ MNBC=72a2a=74

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