题目

如图，在圆O中，AB为直径，EF为弦，连接AF，BE交于点P，且EF2＝PF•AF. （1） 求证：F为弧BE的中点； （2） 若tan∠BEF＝ ，求cos∠ABE的值. 答案： 证明：连接AE， ∵EF2＝PF•AF， ∴ EFAF=PFEF ， ∵∠AFE＝∠EFP， ∴△AFE∽△EFP， ∴∠EAF＝∠BEF， ∴ EF⌢=BF⌢ ， ∴F为弧BE的中点； 解：连接BF、OF，OF交BE于点Q， ∵AB是直径， ∴∠AFB＝90° ∵tan∠BEF＝ 34 ， ∴tan∠BAF＝ BFAF=34 ， 设BF＝3m，则AF＝4m，根据勾股定理AB＝5m， ∴OB＝OF＝ 52 m， ∵ EF⌢=BF⌢ ， ∴OF⊥BE，EQ＝BQ，EF＝BF＝3m， ∵tan∠BEF＝ 34 ， ∴ FQEQ=34 ， ∴ FQEF=35 ∴BQ＝EQ＝ 125 m， 在Rt△BOQ中，cos∠ABE＝ BQOB=125m52m=2425

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