题目

如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+4与坐标轴分别交于A，B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c过A，B两点，点D为线段AB上一动点，过点D作CD⊥x轴于点C，交抛物线于点E． （1） 求抛物线的解析式． （2） 求△ABE面积的最大值． （3） 连接BE，是否存在点D，使得△DBE和△DAC相似？若存在，求出点D坐标；若不存在，说明理由． 答案： 解：在直线解析式y=x+4中，令x=0，得y=4；令y=0，得x=﹣4，∴A（﹣4，0），B（0，4）．∵点A（﹣4，0），B（0，4）在抛物线y=﹣x2+bx+c上，∴ {−16−4b+c=0c=4 ，解得：b=﹣3，c=4，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣3x+4 解：如图，连接AE、过点E作EF⊥y轴于点F，设点C坐标为（m，0）（m＜0），则点E坐标为（m，﹣m2﹣3m+4），则OC=﹣m，OF=﹣m2﹣3m+4，∵OA=OB=4，∴BF=﹣m2﹣3m，则S△ABE=S梯形AOFE﹣S△AOB﹣S△BEF= 12 ×（﹣m+4）（﹣m2﹣3m+4）﹣ 12 ×4×4﹣ 12 ×（﹣m）×（﹣m2﹣3m）．=﹣2m2﹣8m=﹣2（m+2）2+8，∵﹣4＜m＜0，∴当m=﹣2时，S取得最大值，最大值为8．即△ABE面积的最大值为8 解：设点C坐标为（m，0）（m＜0），则OC=﹣m，CD=AC=4+m，BD= 2 OC=﹣ 2 m，则D（m，4+m）．∵△ACD为等腰直角三角形，△DBE和△DAC相似∴△DBE必为等腰直角三角形．i）若∠BED=90°，则BE=DE，∵BE=OC=﹣m，∴DE=BE=﹣m，∴CE=4+m﹣m=4，∴E（m，4）．∵点E在抛物线y=﹣x2﹣3x+4上，∴4=﹣m2﹣3m+4，解得m=0（不合题意，舍去）或m=﹣3，∴D（﹣3，1）；ii）若∠EBD=90°，则BE=BD=﹣ 2 m，在等腰直角三角形EBD中，DE= 2 BD=﹣2m，∴CE=4+m﹣2m=4﹣m，∴E（m，4﹣m）．∵点E在抛物线y=﹣x2﹣3x+4上，∴4﹣m=﹣m2﹣3m+4，解得m=0（不合题意，舍去）或m=﹣2，∴D（﹣2，2）．综上所述，存在点D，使得△DBE和△DAC相似，点D的坐标为（﹣3，1）或（﹣2，2）

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