题目

在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为、 ， 点P的坐标为.点E是y轴上一动点，QP⊥EP交AB于点Q（保持点Q在x轴上方），EF⊥EQ交AB于点F. （1） 当PQ⊥AB时，求OE的长. （2） 当点E在线段OB上移动时，设AQ＝n，OE＝m，求n关于m的函数表达式. （3） 点E在射线OB上移动过程中，点Q、E、F构成的三角形与△OAB相似，求出点E的纵坐标. 答案： 解：∵PQ⊥AB，QP⊥EP，∴EP∥AB，∴∠OEP＝∠OBA，∠OPE＝∠OAB，∴△OEP∽△OBA，∴OEOB=OPOA，即OE1=2422，解得OE=18. 解：如图1，过点Q作QN⊥OA.∵OA=22，OB＝1，∴AB＝3.∴sin∠OAB=13，cos∠OAB=223，在Rt△AQN中，QN=AQ⋅sin∠OAB=n3，AN=AQ⋅cos∠OAB=22n3.∵PA=OA−OP=724，∴PN=PA−AN=724−22n3.∵QN⊥OA，QP⊥EP，∴∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3，∴△QNP∽△POE，∴QNNP=POOE，即n3724−22n3=24m，整理得n=218m+8. 解：①如图2，∠EFQ＝∠ABO时.过点E，Q分别作EM⊥FQ于点M，QN⊥OA于点N，则有△EBM∽△ABO，∴BMBE=OBAB=13设BM＝m，BE＝3m.∵∠EBF＝∠ABO，∴∠EFQ＝∠EBF，∴EF＝EB＝3m.∵EM⊥FQ，∴BF＝2BM＝2m，∵EFFQ=OBAB=13，∴FQ＝9m，∴BQ＝7m，∴点Q的坐标为(142m3，3−7m3)同理可得△EOP∽△PNQ，则EOOP=PNNQ，即3m+124=142m3−243−7m3，整理得168m2+40m−27=0，解得m1=−10+123484，m2=−10−123484（不合题意，舍去）.∴OE=3m+1=18+123428，∴点E的纵坐标为18+123428.②如图3，点B，F重合，∠FQE＝∠FAO时.设BE＝m，则QN＝OE＝1－m，EQ=22m，同理可得△EOP∽△PNQ，则EOOP=PNNQ，即1−m24=22m−241−m，整理得8m2−24m+9=0，解得m1=6−324，m2=6+324（不合题意，舍去）.∴OE=1−m=32−24，∴点E的纵坐标为32−24.③如图4，∠FQE＝∠ABO时.过点E，Q分别作EM⊥FQ于点M，QN⊥OA于点N，则有△EBM∽△ABO，∴BMBE=OBAB=13.设BM＝m，BE＝3m.∵∠FQE＝∠ABO，∴EQ＝EB＝3m∵EM⊥FQ，∴BQ＝2BM＝2m，同理可得△EOP∽△PNQ，则EOOP=PNNQ，即1−3m24=42m3−2413(3−2m)，整理得48m2−104m+27=0，解得m1=13−22212，m2=13+22212（不合题意，舍去）.∴OE=1−3m=−9+2224，∴点E的纵坐标为−9+2224.综上所述，点E的纵坐标为18+123428，32−24，−9+2224

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