题目

如图， 为 的直径， 于点 ， 是 上一点，且 ，延长 至点 ，连接 ，使 ，延长 与 交于点 ，连结 ， ． （1） 连结 ，求证： ； （2） 求证： 是 的切线； （3） 若 ， ，求 的值． 答案： 解：∵ BE=DE ∴∠CDB=∠FBD ∵ BD⌢=BD⌢ ∴∠BCD=∠F 在△BCD和△DFB中 {∠CDB=∠FBD∠BCD=∠FBD=DB ∴ △BCD≌△DFB 解：连接OC ∵∠COB=2∠CDB，∠CEB=∠EDB＋∠EBD=2∠EDB ∴∠COB=∠CEB ∵ PC=PE ∴∠PCE=∠CEB ∴∠COB=∠PCE ∵ CD⊥AB ∴∠OGC=90° ∴∠COB＋∠OCG=90° ∴∠PCE＋∠OCG=90° ∴∠OCP=90° 即OC⊥PC ∴ PC 是 ⊙O 的切线 解：连接AC ∴∠ACB=90°， ∴∠A＋∠ACG=90°，∠BCG＋∠ACG=90° ∴∠A=∠BCG ∵ BC⌢=BC⌢ ∴∠F=∠A=∠BCG tanF=tanA=tan∠BCG=23 ∴ CGAG=BGCG=23 设CG=2x，则AG=3x，BG= 43x ∵ 3x−43x=533 ∴ x=3 ∴CG= 23 ，AG= 33 ，BG= 433 ∴AB=AG＋BG= 1333 ，DG=CG= 23 ∴OB= 12 AB= 1336 ∴OG=OB－BG= 536 由（2）知∠COB=∠CEB ∴tan∠COB=tan∠CEB ∴ CGOG=BGGE 即 23536=433GE 解得：GE= 539 ∴ED=DG－GE= 1339

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