题目

在同一平面内，如果仅原点重合的两条数轴不垂直，我们将这样的坐标系称为斜坐标系.如图1，若点P是斜坐标系 中任意一点，过点Р分别作两坐标轴的平行线，与x轴，y轴交于点M，N，如果点M，N对应的实数为a，b，则点P的坐标为 . （1） 如图1，点E在斜坐标系 中的坐标为（   ） A . B . C . D . （2） 如图2，在斜坐标系 中，直线l与x轴，y轴交于点 ， . ①若点 是直线l上一点，请写出y关于x的关系式，并就点Q在BA延长线上时的情况进行证明； ②若x轴与y轴的夹角 ，经过原点О的直线m交直线l于点F，当 时，请直接写出点F的坐标. 答案： A 解：①设直线l的解析式为 y=kx+b ∵ 直线l与x轴，y轴交于点 A(3，0) ， B(0，4) {0=3k+b4=b 解得： {k=−43b=4 ∴ 直线l的解析式为： y=−43x+4 . 当点Q在BA延长线上时，如图： 过点Q作 QP∥y 轴交x轴于点P， ∵点Q的坐标为 (x，y) ，点P的坐标为 (x，0) ， ∴ AP=x−3 ， PQ=−y ， ∵ QP∥y 轴， ∴ △ABO∽△AQP ∴ OBQP=OAPA ∴ 4−y=3x−3 即 y=−43x+4 . ②过点 F 作 GF//y 轴交 x 轴于点 G 当 OF 在 x 轴上方时， ∵  x轴与y轴的夹角 ∠BOA=60° ， ∠FOA=30° ∵ F1G1//y 轴 ∴∠BOF1=∠OF1G1=30° ∴∠F1OA=∠OF1G1 OG1=F1G1 设 F1(x，y) ，则 y=x 所以直线 m 的解析式为： y=x 联立 {y=xy=−43x+4 解得 {x=127y=127 所以 F1(127，127) . 当 OF 在 x 轴下方时 ∵G2F2//y 轴 ∴∠OG2F2=∠AOB=60° ∵ ∠FOA=30° ∴G2F2⊥OF2 G2F2OG2=sin∠F2OA=sin30°=12 设 F2(a，n) 则 a=−2n ， ∵ 直线 m 过原点О 设 m 的直线解析式为 y=kx 代入 F2(−2n，n) ，解得 k=−12 联立 {y=−12xy=−43x+4 解得： {x=245y=−125 F2 (245，−125) . 综上所述 F 点的坐标为： (127，127) 或 (245，−125)

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