题目

（1） 问题提出：如图1，在中，点、分别是、的中点，连接、、 ， 与交于点 ， 若 ， 则； （2） 问题探究：如图2，在中， ， ， 点是上一点（可与端点重合），连接、 ， ， 求面积的最小值； （3） 问题解决：某湿地公园拟建一个梯形花园 ， 示意图如图3所示，其中 ， ， .管理员计划在区域种植水生植物，在区域种植甲种花卉.根据设计要求，要满足点在上， ， 是锐角，且 ， 若种植水生植物每平方米需400元，种植甲种花卉每平方米需100元，求种植水生植物和种植甲种花卉所需总费用至少为多少元？ 答案： 【1】8 解：过点C作CF⊥AD于点F.在▱ABCD中，CD=AB=2，AD=BC，在Rt△CFD中，∵∠D=45°，∴CF=DF=2.过点E作EM⊥BC于点M，取BC的中点O，连接OE，则EM=CF=2，在Rt△BCE中，BC=2OE，∴S▱ABCD=AD⋅CF=2AD=2BC=22OE，∴当OE最小时，S▱ABCD最小，∵OE≥EM=2，∴OE的最小值为2，∴S▱ABCD最小=22×2=4. 解：延长DE，CB交于点F，∵AD∥BC，∴∠A=∠EBF，∠ADE=∠EFB，∴△ADE∽△BFE，∵AE=2BE，AB=603，∴S△ADE=4S△EFB，BE=13AB=203.过点E作EG⊥BC于点G，在Rt△EBG中，EG=BEsin60°=30.种植水生植物和种植甲种花卉所需总费用为：400S△BCE+100S△ADE=400S△BCE+100×4S△EFB=400S△BCE+400S△EFB=400(S△BCE+S△EFB)=400S△EFC=400×12EG⋅CF=200×30CF=6000CF.∴当CF的长最小时，种植水生植物和种植甲种花卉所需总费用最少.作△EFC的外接圆⊙O，连接OF、OC、OE，过O作OH⊥FC于点H，在弦FC所对的优弧上找一点M，连接MF、MC，∴∠M+∠FEC=180°，∠M=12∠COF=∠FOH，∵∠DEC+∠FEC=180°，∴∠M=∠DEC，∴∠FOH=∠DEC，∴tan∠FOH=tan∠DEC=2，FHOH=2，即FH=2OH.设OH=x，则FH=CH=2x，CF=4x，OF=OE=OC=5x，∵EG+OH≤OE，∴30+x≤5x，∴x≥305−1.∴CF=4x≥1205−1，∴CF的最小值为1205−1，∴6000CF最小=7200005−1=180000(5+1).∴种植水生植物和种植甲种花卉所需总费用至少为180000(5+1)（或7200005−1）元.

查看本题答案和解析