题目

已知：平面直角坐标系内一直线：y＝﹣x+3分别与x轴、y轴交于B、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点，抛物线在x轴上方部分上有一动点D，连结AC； （1） 求抛物线解析式； （2） 当D在第一象限，求D到直线BC的最大距离； （3） 是否存在D点某一位置，使∠DBC＝∠ACO？若存在，请直接写出D点坐标；若不存在，请说明理由. 答案： 解：令y＝﹣x＋3＝0，则x＝3∴B（3，0）令y＝﹣x＋3中x＝0，则y＝3∴C（0，3）把（3，0）、（0，3）代入y＝﹣x2＋bx＋c得：{−9+3b+c=0c=3解得：{b=2c=3∴抛物线解析式为y＝﹣x2＋2x＋3. 解：如图1，设直线y＝﹣x＋3为l1，过点D作DF⊥BC于F，DH⊥AB于H，交BC于点E，则D到线段BC的距离为FD的长. ∵B（3，0），C（0，3）∴OB＝OC＝3∴∠BCO＝∠CBO＝45°∵DH⊥AB∴∠BEH＝∠CBO ＝45°∴∠DEF＝∠BEH＝45°∵DF⊥BC∴∠FDE＝∠DEF＝45°∴DF＝EF∴DE＝2DF∴当DE有最大值时，DF有最大值设点D（m，﹣m2＋2m＋3）则点E（m，﹣m＋3）∴DE＝﹣m2＋2m＋3－（－m＋3）＝﹣m2＋3m＝﹣（m－32）2＋94∴当m＝32时，DE的最大值为94∴DF的最大值为94÷2＝928. 解：当点D在直线BC的下方时，如图2，过点A作AN⊥BC于N，设BD交OC于点P∵OB＝OC＝3∴BC＝32∵抛物线y＝﹣x2＋2x＋3经过A、B两点令y＝﹣x2＋2x＋3＝0则x＝﹣1或3∴点A（﹣1，0）∴AO＝1，AB＝4∴AC＝AO2+CO2=1+9=10∵S△ACB＝12×AB×CO＝12×BC×AN∴4×3＝32×AN∴AN＝22∴CN＝AC2−AN2=10−8=2∵∠DBC＝∠ACO∴∠DBC＋∠BCO＝∠ACO＋∠BCO∴∠BPO＝∠ACB∴tan∠ACB＝tan∠OPB＝ANCN=OBOP∴222=3OP∴OP＝32∴点P（0，32）设PB所在直线的一次函数为y＝k x＋b将（0，32），（3，0）代入，得{b=323k+b=0解得：{b=32k=−12则直线PB解析式为：y＝﹣12x＋32联立方程组可得：{y=－12x+32y=－x2+2x+3解得：{x=−12y=74或{x=3y=0∴点D（﹣12，74）当点D在直线BC的上方时，如图3，过点A作AN⊥BC于N，过点D作DQ⊥AB于Q设点D（n，﹣n2＋2n＋3）∴DQ＝﹣n2＋2n＋3，OQ＝n∴BQ＝3﹣n∵∠DBC＝∠ACO∴∠ACN＝∠DBQ∴tan∠ACN＝tan∠DBQ＝ANCN=DQBQ∴222=−n2+2n+33−n∴n＝3（不合题意）或n＝1∴点D（1，4）综上所述：点D坐标为：（﹣12，74）或（1，4）.

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