题目

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，顶点A、C的坐标分别为（﹣1，2），（3，2），点B在x轴上，点B的坐标为（3，0），抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、C两点．（1）求该抛物线所对应的函数关系式；（2）点P是抛物线上的一点，当S△PAB= S△ABC时，求点P的坐标；（3）若点N由点B出发，以每秒个单位的速度沿边BC、CA向点A移动，秒后，点M也由点B出发，以每秒1个单位的速度沿线段BO向点O移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动，点N的移动时间为t秒，当MN⊥AB时，请直接写出t的值，不必写出解答过程．答案：解：将点A（﹣1，2），C（3，2），代入抛物线y=﹣x2+bx+c中，得 {−1−b+c=2−9+3b+c=2 ，解得 {b=2，c=5，∴抛物线y=﹣x2+2x+5. 解：∵点A（-1，2），B（3，0），C（3，2），∴BC⊥x轴，AC=4，BC=2，∴ S△ABC=12AC×BC=12×4×2=4 ，∴ S△PAB=54S△ABC=5.设直线AB为y=mx+n，将点A（-1，2），B（3，0），代入可得 {−m+n=23m+n=0 ，解得 {m=−12n=32 ，∴直线AB为y= −12x+32 ，设点P（x， −x2+2x+5 ），过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，则M（x， −12x+32 ），∴PM= |−x2+2x+5−(−12x+32)|=|−x2+52x+72| ，∴ S△PAB=12PM×|xA−xB|=5，即 12|−x2+52x+72|×|−1−3|=5 ，∴ 12(−x2+52x+72)×|−1−3|=5 或 12(x2−52x−72)×|−1−3|=5 ，解得 x1=5+414，x2=5−414，x3=−32，x4=4 ，则点P (5+414，27−418)，(5−414，27+418)，(−32，−14)，(4，−3) . 解：当 13<t≤53 时，如图1，点N在BC的线段上，BN= 65t ，BM= t−13 ，∵MN⊥AB，∴ ∠ABC+∠BNM=90° ，又∵A（-1，2），B（3，0），C（3，2），∴AC∥x轴，BC∥y轴，∴∠ACB=90°，∴ ∠ABC+∠BAC=90° ，∴ ∠BNM=∠BAC，又∵∠MBN=∠ACB=90°，∴△BNM~△CAB，∴ BNAC=BMBC ，则 65t4=t−132 ，解得t= 56 .当 53<t≤103 时，点N在线段AC上，如图2，MN与AB交于点D，BM= t−13，AN=6−65t ，由A（-1，2），B(3，0)，得AB= (−1−3)2+22=25 ，设AD=a，则BD= 25−a ，∵∠ADN=∠ACB=90°， ∠DAN=∠CAB，∴△ADN~△ACB，∴ ANAB=ADAC，即AN25=a4，∴AN=52a ；则 AN=6−65t = 52a ，则a= 1255−12525t∵∠BDM=∠ACB=90°， ∠DBM=∠CAB，∴△BDM~△ACB，∴ BMAB=BDAC，即BM25=25−a4，∴BM=52(25−a) =52(25−1255+12525t)=52(12525t−255)=65t−1 ，则 t−13=65t−1，解得 t=103 .综上， t=56或103 .

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