题目

如图1，在△ABC中，AB＝AC＝20，tanB＝ ，点D为BC边上的动点（D不与点B，C重合）.以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AF⊥AD交射线DE于点F，连接CF. （1） 求证：△ABD∽△DCE； （2） 当DE∥AB时（如图2），求AE的长； （3） 点D在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得DF＝CF？若存在，求出此时BD的长；若不存在，请说明理由. 答案： 证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB. ∵∠ADE＋∠CDE＝∠B＋∠BAD，∠ADE＝∠B， ∴∠BAD＝∠CDE. ∴△ABD∽△DCE. 解：过点A作AM⊥BC于点M. 在Rt△ABM中，设BM＝4k，则AM＝BM·tanB＝4k· 34 ＝3k. 由勾股定理，得：AB2＝AM2＋BM2，得： 202＝(3k)2＋(4k)2，解得：k＝4. ∵AB＝AC，AM⊥BC， ∴BC＝2BM＝8k＝32. ∵DE∥AB， ∴∠BAD＝∠ADE. 又∵∠ADE＝∠B，∠B＝∠ACB， ∴∠BAD＝∠ACB. ∵∠ABD＝∠CBA， ∴△ABD∽△CBA， ∴ ABCB ＝ DBAB ，则DB＝ AB2CB ＝ 20232 ＝ 252 . ∵DE∥AB， ∴ AEAC ＝ BDBC ， ∴AE＝ AC⋅BDBC ＝ 20×25232 ＝ 12516 . 解：点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF＝CF. 过点F作FH⊥BC于点H，过点A作AM⊥BC于点M，AN⊥FH于点N，则∠NHA＝∠AMH＝∠ANH＝90°. ∴四边形AMHN为矩形. ∴∠MAN＝90°，MH＝AN. ∵AB＝AC，AM⊥BC， ∴BM＝CM＝ 12 BC＝ 12 ×32＝16. 在Rt△ABM中，由勾股定理，得：AM＝ AB2−BM2 ＝ 202−162 ＝12. ∵AN⊥FH，AM⊥BC， ∴∠ANF＝90°＝∠AMD. ∵∠DAF＝90°＝∠MAN， ∴∠NAF＝∠MAD， ∴△AFN∽△ADM. ∴ ANAM ＝ AFAD ＝tan∠ADF＝tanB＝ 34 . ∴AN＝ 34 AM＝ 34 ×12＝9. ∴CH＝CM－MH＝CM－AN＝16－9＝7. 当DF＝CF时，由点D不与点C重合时，可知△DFC为等腰三角形. 又∵FH⊥DC， ∴CD＝2CH＝14. ∴BD＝BC－CD＝32－14＝18. ∴点D在BC边上运动 的过程中，存在某个位置，使得DF＝CF，此时BD＝18.

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