题目

如图，二次函数的图象与轴交于A，两点，与轴交于点 ， 且关于直线对称，点A的坐标为. （1） 求二次函数的表达式； （2） 连接 ， 若点在y轴上时，和的夹角为 ， 求线段的长度； （3） 当时，二次函数的最小值为 ， 求的值. 答案： 解：∵点A(−1，0)与点B关于直线x=1对称，∴点B的坐标为(3，0)，代入y=x2+bx+c得：{1−b+c=09+3b+c=0，解得：{b=−2c=−3，∴二次函数的表达式为y=x2−2x−3 解：如图，∵二次函数的表达式为y=x2−2x−3，∴C(0，−3)，∵点B的坐标为(3，0)，∴OB=OC=3，∴∠OBC=45°，若点P在点C上方，则∠OBP=∠OBC−∠PBC=30°，∴OP=OBtan∠OBP=3×33=3，∴CP=3−3.若点P在点C下方，则∠OBP′=∠OBC+∠P′BC=60°，∴OP′=OBtan∠OBP′=3×3=33，∴CP=33−3.综上，CP的长为3−3或33−3 解：若a+1<1，即a<0，∵抛物线的对称轴为直线x=1，a≤x≤a+1，∴函数的最小值为(a+1)2−2(a+1)−3=2a，解得：a=1−5（正值舍去），若a<1<a+1，即0<a<1，∴函数的最小值为1−2−3=2a，解得：a=−2（舍去）若a>1，函数的最小值为a2−2a−3=2a，解得：a=2+7（负值舍去），综上，a的值为1−5或2+7.

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