题目

如图直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=﹣x2+6x+3交y轴于点A，过A作AB∥x轴，交抛物线于点B，连结OB.点P为抛物线上AB上方的一个点，连结PA，作PQ⊥AB垂足为H，交OB于点Q. （1） 求AB的长； （2） 当∠APQ=∠B时，求点P的坐标； （3） 当△APH面积是四边形AOQH面积的2倍时，求点P的坐标. 答案： 解：对于 y=−x2+6x+3 ，令x=0，则y=3，故点A（0，3）， 令 y=−x2+6x+3=3 ，解得x=0或6，故点B（6，3）， 故AB=6； 解：设P（ m ， −m2+6m+3 ）， ∵∠APQ=∠B，∠AHP=∠OAB=90°， ∴△ABO～△HPA，故 HPAB=AHAO ， ∴ −m2+6m6=m3 ， 解得m=4. ∴P（4，11）； 解：当△APH的面积是四边形AOQH的面积的2倍时， 则2（AO+HQ）=PH， ∵HQ∥OA， ∴ HQAO=BHAB ，即 HQ3=6−m6 ， ∴HQ= 6−m2 ， ∴ 2(3+6−m2)=−m2+6m ， 解得：m1=4，m2=3， ∴P（4，11）或P（3，12）.

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