题目

M为双曲线y= 上的一点，过点M作x轴、y轴的垂线，分别交直线y=﹣x+m于点D，C两点，若直线y=﹣x+m与y轴交于点A，与x轴相交于点B． （1） 求AD•BC的值． （2） 若直线y=﹣x+m平移后与双曲线y= 交于P、Q两点，且PQ=3 ，求平移后m的值． （3） 若点M在第一象限的双曲线上运动，试说明△MPQ的面积是否存在最大值？如果存在，求出最大面积和M的坐标；如果不存在，试说明理由． 答案： 解：过C作CE⊥x轴于E，过D作DF⊥y轴于F，如图1，当x=0时，y=m，∴A（0，m）；当y=0时，x=m，∴B（m，0）．∴△ABO为等腰直角三角形∴∠OAB=∠OBA=45°∴△ADF和△BCE也是等腰直角三角形设M（a，b），则ab= 3 ，CE=b，DF=a∴AD= 2 DF= 2 a，BC= 2 CE= 2 b∴AD•BC= 2 a• 2 b=2ab=2 3 解：将y=﹣x+m代入双曲线y= 3x 中，整理得：x2﹣mx+ 3 =0，设x1、x2是方程x2﹣mx+ 3 =0的两个根（x1＜x2），∴x1+x2=m，x1•x2= 3 ．∵PQ=3 2 ，直线的解析式为y=﹣x+m，∴x2﹣x1=3= (x1+x2)2+4x1x2 = m2−43 ，解得：m=± 9+43 解：由上述结论知x1=y2，x2=y1，且AO=BO=y1+y2=x1+x2=m    ①，∵x1x2= 3    ②，∴P，Q两点的坐标可表示为P（x1，x2），Q（x2，x1），∴PQ= 2 （x2﹣x1），∵（x2﹣x1）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=m2﹣4 3 ，∴PQ= 2 m2−43 ，∵S△MPQ= 12 PQ•h，∵PQ为定值，∴PQ边上的高有最大值时，即存在面积的最大值，当m无限向x轴右侧运动时，（或向y轴的上方运动时）h的值无限增大，∴不存在最大的h，即△MPQ的面积不存在最大值．

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