题目

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G． （1） 求证：BC是⊙O的切线； （2） 求证： ； （3） 若BE=8，sinB= ，求AD的长， 答案： 解：如图，连接OD， ∵AD为∠BAC的角平分线， ∴∠BAD=∠CAD， ∵OA=OD， ∴∠ODA=∠OAD， ∴∠ODA=∠CAD， ∴OD∥AC， ∵∠C=90°， ∴∠ODC=90°， ∴OD⊥BC， ∴BC为圆O的切线； 解：连接DF，由（1）知BC为圆O的切线， ∴∠FDC=∠DAF， ∴∠CDA=∠CFD， ∴∠AFD=∠ADB， ∵∠BAD=∠DAF， ∴△ABD∽△ADF， ∴ ABAD=ADAF ， 即AD2=AB•AF 解：连接EF，在Rt△BOD中，sinB= ODOB=513 ， 设圆的半径为r，可得 rr+8=513 ， 解得：r=5， ∴AE=10，AB=18， ∵AE是直径， ∴∠AFE=∠C=90°， ∴EF∥BC， ∴∠AEF=∠B， ∴sin∠AEF= AFAE=513 ， ∴AF=AE•sin∠AEF=10× 513 = 5013 ， ∵AD2=AB•AF ∴AD= AB⋅AF=18×5013=301313 ．

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