题目

我们规定：函数y＝ （a、b、k是常数，k≠ab）叫广义反比例函数．当a＝b＝0时，广义反比例函数y＝ 就是反比例函数y＝ （k是常数，k≠0）． （1） 如果某一矩形两边长分别是2和3，当它们分别增加x和y后，得到新矩形的面积为8．求y与x之间的函数表达式，并判断它是否为广义反比例函数； （2） 如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A、C坐标分别为（6，0）、（0，3），点D是OA中点，连接OB、CD交于E，若广义反比例函数y＝ 的图象经过点B、E，求该广义反比例函数的表达式； （3） 在（2）的条件下，过线段BE中点M的一条直线l与这个广义反比例函数图象交于P，Q两点（P在Q右侧），如果以B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为16，请直接写出点P的坐标． 答案： 解：是广义反比例函数； 理由：由题意得：（2+x）（3+y）＝8． 即3+y＝ 8x+2 ， ∴y＝ 8x+2 ﹣3＝ −3x+2x+2 ． 根据定义，y＝ −3x+2x+2 是广义反比例函数 解：如图1， 由题意得：B（6，3）、D（3，0）， 设直线OB的解析式为y＝mx， 则有6m＝3，解得：m＝ 12 ， ∴直线OB的解析式为y＝ 12 x． 设直线CD的解析式为y＝kx+b， {3k+b=0b=3 ，解得： {k=−1b=3 ， ∴直线CD的解析式为y＝﹣x+3． 解方程组 {y=12xy=−x+3 ，得 {x=2y=1 ， ∴点E（2，1）． 将点B（6，3）和E（2，1）代入y＝ ax+kx−4 得 {6a+k6−4=32a+k2−4=1 ，解得： {a=2b=−6 ， ∴广义反比例函数的表达式为y＝ 2x−6x−4 解：满足条件的点P的坐标为（2 5 ， 5 +4）或（2 5 +8， 5 ）． ①若点P在点B的左边，如图2①， 以点M为原点，构建如图2①所示的新坐标系， 在该坐标系下广义函数的解析式为y′＝ 2x′ ，点B的新坐标为（2，1）． ∵直线PQ与双曲线y′＝ 2x′ 都是以点M为对称中心的中心对称图形， ∴MP＝MQ． ∵MB＝ME， ∴四边形BPEQ是平行四边形， ∴S▱BPEQ＝4S△BMP＝16， ∴S△BMP＝4． 过点P作PG⊥x′轴于G，过点B作BH⊥x′轴于H， 根据反比例函数比例系数的几何意义可得： S△PGM＝S△BHM＝ 12 ×2＝1， ∴S△BMP＝S△PGM+S梯形BHGP﹣S△BHM＝S梯形BHGP＝4， 设点P在新坐标系中的坐标为（x′， 2x′ ）， 则有S梯形BHGP＝ 12 （1+ 2x′ ）•（2﹣x′）＝4， 解得x1′＝﹣4﹣2 5 （舍去），x2′＝﹣4+2 5 ， 当x＝﹣4+2 5 时， 2x′ ＝ 2−4+25 ＝ 5 +2， 即点P在新坐标系中的坐标为（﹣4+2 5 ， 5 +2）， ∴点P在原坐标系中的坐标为（2 5 ， 5 +4）； ②若点P在点B的右边，如图2②， 同理可得：点P在原坐标系中的坐标为（2 5 +8， 5 ）， 满足条件的点P的坐标为（2 5 ， 5 +4），（2 5 +8， 5 ）

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