题目

已知：如图①，在矩形ABCD中，AB=5，AD= ，AE⊥BD，垂足是E．点F是点E关于AB的对称点，连接AF、BF． （1） 求AE和BE的长； （2） 若将△ABF沿着射线BD方向平移，平移中的△ABF为△A1B1F1设平移的距离为m（平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度）．①当点F分别平移到线段AB上时，求出m的值②当点F分别平移到线段AD上时，当直接写出相应的m的值． （3） 如图②，将△ABF绕点B顺时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的△ABF为△A′BF′，在旋转过程中，设A′F′所在的直线与直线AE交于点O，当∠A′BD=∠FAB时，请直接写出OB的长． 答案： 解：在Rt△ABD中，AB=5，AD= 203 ，由勾股定理得：BD= AB2+AD2 = 52+(203)2 = 253 ．∵S△ABD= 12 BD•AE= 12 AB•AD，∴AE= AB⋅ADBD = 5×203253 =4．在Rt△ABE中，AB=5，AE=4，由勾股定理得：BE=3 解：设平移中的三角形为△A′B′F′，如答图2所示：由对称点性质可知，∠1=∠2．由平移性质可知，AB∥A′B′，∠4=∠1，BF=B′F′=3．①当点F′落在AB上时，∵AB∥A′B′，∴∠3=∠4，∴∠3=∠2，∴BB′=B′F′=3，即m=3；②当点F′落在AD上时，∵AB∥A′B′，∴∠6=∠2，∵∠1=∠2，∠5=∠1，∴∠5=∠6，又易知A′B′⊥AD，∴△B′F′D为等腰三角形，∴B′D=B′F′=3，∴BB′=BD﹣B′D= 253 ﹣3= 163 ，即m= 163 ． 解：如图3中，设AE交BA′于K．∵∠KBE=∠FAB=∠BAE，∠KEB=∠AEB，∴△EKB∽△EBA，∴可得BE2=EK•EA，∴EK= 94 ， 在Rt△BEK中，BK= BE2+KE2 = 32+(94)2 = 154 ，∴A′K=5﹣ 154 = 54 ，∵∠A′=∠KBE，∴OA′∥BE，∴ OKKE = A'KBK ，∴ OK94 = 54154 ，∴OK= 34 ，∴AO=AE﹣OK=KE=1．如图4中，当∠DBA′=∠BAF时，点A′在线段BC上，易证∠OAB=∠OBA，∴OA=OB，设OA=OB=x，在Rt△OBE中，∵OB2=OE2+BE2，∴x2=32+（4﹣x）2，∴x= 258 ，∴OA= 258 ，综上所述，满足条件的OA的长为1或 258

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