题目

如图，AC为⊙O的直径，AB＝BD，BD交AC于F，BE//AD交AC的延长线于E点. （1） 求证：BE为⊙O的切线； （2） 若AF＝4CF，求tan∠E. 答案： 证明：如图，连接CD、OD、BO，延长BO交AD于点G， 在△ABO和△DBO中， ∵ {AB=DBBO=BOAO=DO ， ∴△ABO≌△DBO（SSS）， ∴∠1＝∠ABO， ∴BG⊥AD， ∴ ∠1+∠BDG=90°, ∵BE//AD， ∴ ∠BDG=∠3, ∴∠3+∠1＝90°，即OB⊥BE， ∴BE为⊙O的切线； 解：设CF＝x，则AF＝4x， ∴AC＝5x，OC＝OB＝ 12 AC＝ 52 x， ∴OF＝OC﹣CF＝ 52 x﹣x＝ 32 x， ∵AC为⊙O的直径， ∴∠ADC＝90°， ∴CD//BG， ∴△CDF∽△OBF， ∴ CDOB=CFOF ，即 CD52x=x32x ， 则CD＝ 53 x， ∴AD＝ AC2−CD2=(5x)2−(53x)2=1023x ， ∵BE//AD， ∴tanE＝tan∠CAD＝ CDAD=53x1023x=24 .

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