题目

抛物线与x轴交于 ， 两点，与y轴交于点C，直线y＝kx－6经过点B．点P在抛物线上，设点P的横坐标为m． （1） 求抛物线的表达式和t，k的值； （2） 如图1，连接AC，AP，PC，若△APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标； （3） 如图2，若点P在直线BC上方的抛物线上，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，求的最大值． 答案： 解：∵B(8，0)在抛物线y=ax2+114x−6上，∴64a+114×8−6=0，∴a=−14，∴抛物线解析式为y=−14x2+114x−6，当y=0时，−14t2+114t−6=0，∴t1=3，t2=8（舍），∴t=3．∵B(8，0)在直线y=kx−6上，∴8k−6=0，∴k=34，∴一次函数解析式为y=34x−6． 解：如图，作PM⊥x轴于点M，对于y=−14x2+114x−6，令x=0，则y=-6，∴点C（0，-6），即OC=6，∵A（3，0），∴OA=3，∵点P的横坐标为m．∴P(m，−14m2+114m−6)，∴PM=14m2−114m+6，AM=m−3，∵∠CAP=90°，∴∠OAC+∠PAM=90°，∵∠APM+∠PAM=90°，∴∠OAC=∠APM，∵∠AOC=∠AMP=90°，∴△COA∽△AMP，∴OAPM=OCMA，∴OA⋅MA=OC⋅PM，即3(m−3)=6⋅(14m2−114m+6)，∴m1=3（舍），m2=10，∴m=10，∴点P(10，−72)． 解：如图，作PN⊥x轴交BC于点N，过点N作NE⊥y轴于点E，∵P(m，−14m2+114m−6)，∴点N(m，34m−6)，∴PN=−14m2+114m−6−(34m−6)=−14m2+2m，∵PN⊥x轴，∴PN∥y轴，∴∠PNQ=∠OCB，∵∠PQN=∠BOC=90°，∴△PQN∽△BOC，∴PNBC=NQOC=PQOB，∵OB=8，OC=6，∴BC=10，∴NQ=35PN，PQ=45PN，∵EN⊥y轴，∴EN∥x轴，∴△CNE∽△CBO，∴CNBC=ENOB，即CN10=m8∴CN=54m，∴CQ+12PQ=CN+NQ+12PQ=CN+35PN+12×45PN=CN+PN，∴CQ+12PQ=54m−14m2+2m=−14m2+134m=−14(m−132)2+16916，∴当m=132时，CQ+12PQ的最大值是16916．

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