题目

已知函数 （1） 讨论 的单调性； （2） 设函数 ，若 在 上有且只有一个零点，求m的取值范围． 答案： 解： f′(x)=ex−m ①若 m≤0 ，则 f′(x)>0 ，∴ f(x) 在R上单调递增． ②若 m>0 ，令 f′(x)=0 ，则 x=lnm ， 当 x∈(−∞,lnm) 时， f′(x)<0 ；当 x∈(lnm,+∞) 时， f′(x)>0 ， ∴ f(x) 在 (−∞,lnm) 上单调递减，在 (lnm,+∞) 上单调递增． 综上，当 m≤0 时， f(x) 在R上单调递增；当 m>0 时， f(x) 在 (−∞,lnm) 上单调递减，在 (lnm,+∞) 上单调递增． 解：由题意知： h(x)=ex−mx+x2+m ，则 h′(x)=ex+2x−m ， 易知 h′(x) 在 [0,+∞) 上单调递增，且 h′(0)=1−m ． ①若 m≤1 ，则 h′(x)≥0 ，∴ h(x) 在 [0,+∞) 上单调递增， ∵ h(x) 在 [0,+∞) 上有且只有一个零点， h(0)=1+m,h(1)=e+1>0 ， ∴ h(0)=1+m≤0 ，即 m≤−1 ． ∴当 m≤−1 时， h(x) 在 [0,+∞) 上有且只有一个零点． ②若 m>1 ，则 h′(0)=1−m<0,h′(lnm)=2lnm>0 ， ∴存在 x0∈(0,lnm) ，使 h′(x0)=0 ，即 ex0+2x0=m ， ∴当 x∈(0,x0) 时， h′(x)<0 ；当 x∈(x0,+∞) 时， h′(x)>0 ． ∴ h(x) 在 (0,x0) 上单调递减，在 (x0,+∞) 上单调递增， 又 h(0)=1+m>0 ， h(m)=em+m>0 ， h(x) 在 [0,+∞) 上有且只有一个零点， ∴ h(x0)=0 ，即 ex0−mx0+x02+m=0 ． 把 m=ex0+2x0 代入上式可知： (2−x0)(ex0+x0)=0 ，因为 ex0+x0>0 ，∴ x0=2 ， 从而 m=e2+4 ． 综上，当 m≤−1 或 m=e2+4 时， h(x) 在 [0,+∞) 上有且只有一个零点．

查看本题答案和解析