题目

抛物线 与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴正半轴交于点C. （1） 如图1，若 ， ， ①求抛物线 的解析式； ②Р为抛物线上一点，连接 、 ，若 ，求点P的坐标； （2） 如图2，D为x轴下方抛物线上一点，连 ， ，若 ，求点D的纵坐标. 答案： 解：① A(−1，0) ， B(3，0) 代入 y=−x2+bx+c 得： {−1−b+c=0−9+3b+c=0 ，解得 {b=2c=3 ∴ y=–x2+2x+3 ②过点C作直线 l//AB ，过点A作 AE⊥l 交L于点E，过点Р作 PF⊥l 交l于点F， ∵ ∠PCF+∠ACE=90° ， ∠PCF+∠FPC=90° ， ∴ ∠ACE=∠FPC ， ∵ ∠AEC=∠PFC=90° ∴ △AEC∽△CFP ∴ AEEC=CFFP 设Р点坐标为 (m，−m2+2m+3) ∴ 31=m3−(−m2+2m+3) ∴ 31=mm2−2m 解得， m1=73 ， m2=0 （舍去），把 m1=73 代入， −m2+2m+3=−(73)2+2×73+3=209 ， ∴ P(73，209) 解：作 DI⊥x 轴，垂足为I ∵ ∠BDA+2∠BAD=90° ， ∠DBI=∠BAD+∠BDA ∴ ∠DBI+∠BAD=90° ∵ ∠BDI+∠DBI=90° ∴ ∠BAD=∠BDI ∵ ∠BID=∠DIA ∴ △IBD∽△IDA ∴ BIID=IDAI 设D点坐标为 (n，−n2+2n+3) n−3−(−n2+2n+3)=−(−n2+2n+3)n+1 ，即 n−3(n+1)(n−3)=(n+1)(n−3)n+1 ， D为x轴下方抛物线上一点，即 n≠−1 且 n≠3 化简得， (n+1)(n−3)=1 ， ∴ n2−2n−3=1 ∴ −n2+2n+3=−1 ∴D的纵坐标-1

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