题目

如图，已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线交OC的延长线于点D，交BC的延长线于点E. （1） 求证：∠DAC=∠DCE； （2） 若AB=2，sin∠D= ，求AE的长. 答案： 解：∵AD是圆O的切线，∴∠DAB=90°. ∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°. ∵∠DAC+∠CAB=90°，∠CAB+∠ABC=90°，∴∠DAC=∠B. ∵OC=OB，∴∠B=∠OCB. 又∵∠DCE=∠OCB，∴∠DAC=∠DCE. 解：∵AB=2，∴AO=1. ∵sin∠D= 13 ，∴OD=3，DC=2. 在Rt△DAO中，由勾股定理得AD= OD2−OA2 = 22 . ∵∠DAC=∠DCE，∠D=∠D，∴△DEC∽△DCA，∴ DCAD=DEDC ，即 222=ED2 . 解得：DE= 2 ，∴AE=AD﹣DE= 2 .

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