题目

在数学活动课上，老师提出了一个问题，希望同学们进行探究．在平面直角坐标系中，若一次函数 的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数 的图象交于C、D两点，则AD和BC有怎样的数量关系？同学们通过合作讨论，逐渐完成了对问题的探究． （1） 小勇说：我们可以从特殊入手，取 进行研究（如图①），此时我发现AD=BC．小攀说：在图①中，分别从点C、D两点向两条坐标轴作垂线，根据所学知识可以知道有两个图形的面积是相等的，并能求出确定的值，而且在图②中，此时  ，这一结论仍然成立，即 的面积= 的面积，此面积的值为 ．小高说：我还发现，在图①或图②中连接某两个已知点，得到的线段与AD和BC都相等，这条线段是 ．请完成以上填空； （2） 请结合以上三位同学的讨论，对图②所示的情况下，证明AD=BC；小峰突然提出一个问题：通过刚才的证明，我们可以知道当直线与双曲线的两个交点都在第一象限时， 总是成立的，但我发现当k的取值不同时，这两个交点有可能在不同象限，结论还成立吗？ （3） 请你结合小峰提出的问题，在图③中画出示意图，并判断结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 答案： 【1】四边形OHCF【2】四边形OIDG【3】6【4】GH 解：成立，如图①，连接 GH ， GC ， DH ，∵点 C ， D 是反比例图象上的点，∴ S矩形FCHO=S矩形GDIO ．∴ 12S矩形FCHO=12S矩形GDIO ．∴ SΔCGH=SΔGHD ．∴点 C ， D 到 GH 的距离相等．∴ CD ∥ GH ．∴四边形 BCHG 和四边形 GHAD 都是平行四边形．∴ BC=GH ， GH=DA ．即 AD=BC ． 解：画出图形，得到 GH ，∵点 C ， D 是反比例图象上的点，∴ S矩形FCHO=S矩形GDIO ．∴ 12S矩形FCHO=12S矩形GDIO ．∴ SΔCGH=SΔGHD ．∴点 C ， D 到 GH 的距离相等．∴ CD ∥ GH ．∴四边形 BCHG 和四边形 GHAD 都是平行四边形．∴ BC=GH ， GH=DA ．即 AD=BC ．

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