题目

如图，二次函数 的图象与x轴交于点A、B，已知 与y轴交于点 ，该抛物线的顶点为点D. （1） 二次函数的表达式为，点D的坐标为； （2） 连接BC. ①在抛物线上存在一点P，使得 ，求点P的坐标； ②若 是抛物线上动点，则是否存在点 ，使得 ？若存在，直接写出点 的横坐标的取值范围；若不存在，说明理由. 答案： 【1】y=−x2+2x+3【2】（1，4） 解：①由（1）可知抛物线的对称轴为直线 x=1 ，所以易得点B坐标为（3，0）. 设直线BC的函数表达式为 y=kx+b . 则有 {3k+b=0，b=3. 解得 {k=−1，b=3. ∴直线BC的函数表达式为 y=−x+3 . ∵ DP//CB ∴设DP解析式为 y=−x+m 代入D（1，4）得： 4=−1+m ， m=5 ∴直线ED的函数表达式为 y=−x+5 . 令 −x2+2x+3=−x+5 ，解得 x1=1 （D点舍去）， x2=2 . 当 x=2 时， y=3 ，所以点P坐标为 (2，3) . ②设点Q的横坐标为t， 所以关键是找点Q，使得∠QCB=∠DAP ， 过P作PM⊥AB于M ∵点P的坐标为（2，3），A（-1，0） ∴PM=AM=3 ∴∠PAB=45°， ∵找点Q，使得∠DAB -∠BCQ＞45°， ∴找到点Q，使得∠DAB -∠BCQ=45°. ∵∠DAB -∠DAP=45°. ∴找点Q，使得∠QCB=∠DAP ， ∵D（1，4） ∴ PD=2，AD=25，PA=32 ∴ PD2+PA2=AD2 ∴△PAD是直角三角形 当Q在BC上方时，过B作BG⊥BC交CQ于G，过G作GH⊥AB于H 则 △BOC∼△GHB ∴ BCGB=OCHB=OBGH ∵∠QCB=∠DAP ∴ tan∠QCB=BGBC=tan∠DAP=DPAP=13 ∴GH=BH=1 ∴G点坐标（4，1） ∴CG的解析式为 y=−12x+3 ∵Q为抛物线与CG交点 ∴令 −x2+2x+3=−12x+3 ，解得 x1=0，x2=52 当x=0时为C点 ∴Q点横坐标 52 同理：当Q在BC下方时，求得Q点横坐标为4 综上存在点 Q ，使得 ∠DAB−∠BCQ>45° ，点 Q 的横坐标的取值范围是 52<t<4

查看本题答案和解析