题目

在正方形 中，点 、 分别在边 、 上，且 . （1） 将 绕点 顺时针旋转 ，得到 （如图 ，求证： ； （2） 若直线 与 、 的延长线分别交于点 、 （如图 ，求证： ； （3） 将正方形改为长与宽不相等的矩形，其余条件不变（如图 ，直接写出线段 、 、 之间的数量关系. 答案： 证明：如图1中， ∵ΔADF 绕着点 A 顺时针旋转 90° ，得到 ΔABG ， ∴AF=AG ， ∠FAG=90° ， ∵∠EAF=45° ， ∴∠GAE=45° ， 在 ΔAGE 与 ΔAFE 中， {AG=AF∠GAE=∠FAE=45°AE=AE ， ∴ΔAGE≅ΔAFE(SAS) ， ∴EG=EF ， ∵EG=EB+BG=BE+DF ， ∴EF=EB+DF . 证明：如图2中，设正方形 ABCD 的边长为 a .将 ΔADF 绕着点 A 顺时针旋转 90° ，得到 ΔABG ，连接 GM .则 ΔADF≅ΔABG ， DF=BG . 由（1）知 ΔAEG≅ΔAEF ， ∴EG=EF . ∵∠CEF=45° ， ∴ΔBME 、 ΔDNF 、 ΔCEF 均为等腰直角三角形， ∴CE=CF ， BE=BM ， NF=2DF ， ∴a−BE=a−DF ， ∴BE=DF ， ∴BE=BM=DF=BG ， ∴∠BMG=45° ， ∴∠GME=45°+45°=90° ， ∴EG2=ME2+MG2 ， ∵EG=EF ， MG=2BM=2DF=NF ， ∴EF2=ME2+NF2 . 解： EF2=2BE2+2DF2

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