题目

如图，直角坐标系中，抛物线y＝a( x－4 )2－16（a>0）交x轴于点E，F（E在F的左边），交y轴于点C，对称轴MN交x轴于点H；直线y＝ x＋b分别交x，y轴于点A，B．   备用图 （1） 写出该抛物线顶点D的坐标及点C的纵坐标（用含a的代数式表示）. （2） 若AF=AH=OH，求证：∠CEO=∠ABO. （3） 当b＞－4时，以AB为边作正方形，使正方形的另外两个顶点一个落在抛物线上，一个落在抛物线的对称轴上，求所有满足条件的a及相应b的值．（直接写出答案即可） 答案： 解： ∵二次函数解析式为y＝a( x－4 )2－16（a>0），∴顶点D坐标为（4，－16），当x=0时，y=a(0-4)2-16=16a-16，∴点C的纵坐标：16a－16. 解：∵D（4，－16），∴OH=4， ∵AF=AH=OH，EH=HF， ∴F(12，0)，A(8，0)，E(－4，0)， ∴ 0=a(12−4)2−16 ， a=14 ， 13×8+b=0 ， b=−83 ， ∴C(0，－12)，OC=12， tan∠CEO=OCOE=124=3 ， tan∠ΟΒΑ=OAOB=3 ， ∴∠CEO=∠ABO. 解： ①如图所示，∵y=13x+b，当x=0时，y=b,∴B(0,b),过点E作EG垂直于NF，设对称轴与x轴的交点为M，BG与y轴的交点为点H，∵四边形EFAB为正方形，可知△EFG≌△ABO（AAS），△FMA≌△ABO(AAS),∴OB=AM=FG=-b,∵抛物线的对称轴为直线x=4，∴OA=FM=EG=4-b，∴A(4-b，0），E（b，4）,将点A代入直线解析式得，0=134-b+b，解得b=-2，∴E（-2,4），∴4=a（-2-4）2-16，解得a=59.②如图所示，△OBA≌△AFG(AAS），△OBA≌△BEQ(AAS),∴OB=EQ=AG=-b，∴OA=FG=BQ=4+b，∴A(4+b，0），E（-b，-4），将点A代入直线解析式得，0=134+b+b，解得b=-1，∴E（1，-4）,将点E(1，-4)代入抛物线解析式得，-4=a（1-4）2-16,解得a=43。③如图所示，△ABO≌△AEG(AAS)，△ABO≌△BHF(AAS)，∴OB=BH=AG=4,∴b=4，∴OA=12，EG=12，∴E（-8，-12），代入抛物线解析式得，-12=a（-8-4）2-16，解得a=136，综上，a=59，b=-2或a=43,b=-1或a=136，b=4.

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