题目

三条边都相等的三角形叫做等边三角形，它的三个角都是60°．△ABC是等边三角形，点D在BC所在直线上运动，连接AD，在AD所在直线的右侧作∠DAE=60°，交△ABC的外角∠ACF的角平分线所在直线于点E． （1） 如图1，当点D在线段BC上时，请你猜想AD与AE的大小关系，并给出证明； （2） 如图2，当点D在线段BC的反向延长线上时，依据题意补全图形，请问上述结论还成立吗？请说明理由． 答案： 结论：AD=AE． 理由：如图，在AB上取一点M，使BM=BD，连接MD． ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=60°，BA=BC． ∴△BMD是等边三角形，∠BMD=60°．∠AMD=120°． ∵CE是外角∠ACF的平分线， ∴∠ECA=60°，∠DCE=120°． ∴∠AMD=∠DCE． ∵∠ADE=∠B=60°，∠ADC=∠2+∠ADE=∠1+∠B ∴∠1=∠2． 又∵BA-BM=BC-BD，即MA=CD． 在△AMD和△DCE中， {∠1＝∠2MA＝CD∠AMD＝∠DCE ， ∴△AMD≌△DCE（ASA）． ∴AD=DE． 正确． 证明：延长BA到M，使AM=CD， 与（1）相同，可证△BDM是等边三角形， ∵∠CDE=∠ADB+∠ADE=∠ADB+60°， ∠MAD=∠B+∠ADB=∠ADB+60°， ∴∠CDE=∠MAD， 同理可证，△AMD≌△DCE， ∴AD=DE．

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