题目

如图，四边形内接于 ， ， 为的直径，过D作的切线. （1） 求证：. （2） 若的半径为5， ， 求的长. 答案： 证明：如图，连接OD，∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC=90°，∵BD=CD，∴∠OBD=∠OCD=45°，∵OD=OB，∴∠ODB=∠OBD=45°，∴∠BOD=180°−∠OBD−∠ODB=90°，∵EF是⊙O的切线，∴∠ODF=90°，∴∠ODF=∠BOD，∴BC//EF. 解：如图，作BM⊥AD于点M.∴∠AMB=90°，∵∠BAM和∠OCD都是BD弧所对的圆周角，∴∠BAM=∠OCD=45°，∴在RtΔAMB中，cos∠BAM=AMAB，即cos45°=AM6，∴AM=6×22=32，∵∠BAM=∠ABM=45°，∴AM=BM=32，∵⊙O的半径为5，∴BC=2×5=10，∵∠BDC=90°，BD=CD，∴BD2+CD2=BC2，即2BD2=BC2，解得BD=52，∴DM=BD2−BM2=(52)2−(32)2=42，∴AD=AM+DM=32+42=72.

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