题目

如图，在△ABC中，∠C=60°，⊙0是△ABC的外接圆，点P在直径BD的延长线上，且AB=AP。 （1） 求证：PA是⊙O的切线； （2） 若AB=2 ，求图中阴影部分的面积(结果保留π和根号) 答案： 证明：如图，连接OA； ∵∠C=60°，   ∴∠AOB=120°；而OA=OB，  ∴∠OAB=∠OBA=30°；而AB=AP， ∴∠P=∠ABO=30°； ∵∠AOB=∠OAP+∠P，  ∴∠OAP=120°﹣30°=90°，   ∴PA是⊙O的切线． 解：如图，过点O作OM⊥AB，则AM=BM= 3 ， ∵tan30°= OMAM ，sin30°= OMAO ，  ∴OM=1，OA=2； ∴ S△AOB=12×AB·OM=12×23×1=3 ， S扇形OAB=120π⋅22360 = 4π3 ，     ∴图中阴影部分的面积= 4π3 - 3 ．

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