题目

如图，抛物线y= x2-x+4与x轴交于A，B两点(点A在x轴的正半轴上)，与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F，G分别在线段BC，AC上。 （1） 求点A，B，C的坐标； （2） 若点D的坐标为(m，0)，矩形DEFG的面积为S，求S关于m的函数表达式，并指出m的取值范围； （3） 当矩形DEFG的面积S取最大值时， ①求直线DF所对应的函数解析式； ②在射线DF上取一点M，使FM=k·DF，若点M恰好落在该抛物线上，求k的值。 答案： 解：∵抛物线y= −12 x2-x+4与x轴交于A，B两点(点4在x轴的正半轴上) ∴令y=0，即 −12 x²-x+4=0 ∴x=-4或x=2， ∴点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(-4，0) 令x=0， ∴y=4， ∴C的坐标为(0，4). 解：由(1)知，OA=2，OC=4，AD=2-m， ∵DG∥OC， ∴ DGAD=OCAO ∴DG=4-2m， ∴BE-EF=DG=4-2m， ∴DE=AB-AD-BE=6-2+m-4+2m=3m， ∴S矩形DEFG=DG×DE=(4-2m)×3m=-6m²+12m(0<m<2) 解：①由(2) 知S矩形DEFG=DG×DE=-6m²+12m=-6(m-1)²+6(0<m<2) 当m=1时，矩形DEFG的面积最大，最大值为6， 此时，D(1，0)，G(1，2)，E(-2，0)，F(-2，2) ∴直线DF所对应的函数解析式为y= −23x+23 （8分） ②由①知，D(1，0)，F(-2，2)， ∴DF= 13 ， ∴FM=k·DF= 13 k， 如图，过点M作MN⊥x轴， 设M(n， −23n+23 )，则N(n，0)， ∴EN=-2-n ∵点M在抛物线上 ∴ −23n+23=−12 n2-n+4 ∴n= −1±613 ∵n<0， ∴n= −1−613 ∴EN=-2-n= −5+613 ∵D(1，0)，E(-2，0)， ∴DE=3. ∵EF∥MN， ∴ DFFM=DEEN ∴ 1313k=3−5+613 ∴k= −5+619

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