题目

如图1,在平面直角坐标系中,直线 与抛物线 交于 两点，其中 , .该抛物线与 轴交于点 ,与 轴交于另一点 . （1） 求 的值及该抛物线的解析式; （2） 如图2.若点 为线段 上的一动点(不与 重合).分别以 、 为斜边,在直线 的同侧作等腰直角△ 和等腰直角△ ,连接 ,试确定△ 面积最大时 点的坐标. （3） 如图3.连接 、 ,在线段 上是否存在点 ,使得以 为顶点的三角形与△ 相似,若存在,请直接写出点 的坐标;若不存在,请说明理由. 答案： 解：把A（m，0），B（4，n）代入y=x﹣1得：m=1，n=3，∴A（1，0）， B（4，3）． ∵y=﹣x2+bx+c经过点A与点B，∴ {−1+b+c=0−16+4b+c=3 ，解得： {b=6c=−5 ，则二次函数解析式为y=﹣x2+6x﹣5 解：如图2，△APM与△DPN都为等腰直角三角形，∴∠APM=∠DPN=45°，∴∠MPN=90°，∴△MPN为直角三角形，令﹣x2+6x﹣5=0，得到x=1或x=5，∴D（5，0），即DP=5﹣1=4，设AP=m，则有DP=4﹣m，∴PM= 22 m，PN= 22 （4﹣m），∴S△MPN= 12 PM•PN= 12 × 22 m× 22 （4﹣m）=﹣ 14 m2﹣m=﹣ 14 （m﹣2）2+1，∴当m=2，即AP=2时，S△MPN最大，此时OP=3，即P（3，0） 存在点 Q 坐标为 （2，-3） 或 (73，-83) .

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