题目

【阅读材料】如图①，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上且∠EAF＝45°，连接EF，求△CEF的周长．小明想到解决问题的方法如下：如图②，延长CB至点G，使BG＝DF，通过证明 ， 得到BE、DF、EF之间的关系，进而求出△CEF的周长． （1） 请按照小明的思路，帮助小明写出完整的求解过程． （2） 【方法应用】如图②，若BE＝1，求DF的长． （3） 【能力提升】如图③，在锐角△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D．若BD＝1，AD＝4，则CD的长为． 答案： 解：依照小明的思路：延长CB至点G，使BG＝DF，如图②，在正方形ABCD中，∠BAD=90°=∠D=∠ABC，AD=AB=CD=BC=4，∵∠FAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=90°-∠EAF=45°，∵BG=DF，AB=AD，∠D=∠ABG=90°，∴△ADF≌△ABG，∴∠BAG=∠DAF，AF=AG，∵∠BAE+∠DAF=45°，∴∠BAE+∠BAG=45°=∠EAG=∠EAF，∵AG=AF，AE=AE，∴△AFE≌△AGE，∴EF=GE，∵△CEF的周长CF+FE+EC=CF+EC+GE，∵GE=GB+BE，BG＝DF，∴CF+EC+GE=CF+EC+GB+BE=CF+DF+EC+BE=CD+BC=4+4=8； 解：∵BE=1，∴EC=BC-BE=4-1=3，∵FC=DC-DF=4-DF，∠C=90°，∴在Rt△CEF中，EF2=FC2+EC2，∴EF2=(4−DF)2+32，∵在（1）已证明EF=GE，GB=DF，∴EF=DF+BE=DF+1，∴EF2=(1+DF)2，∴EF2=(4−DF)2+32=(1+DF)2，解得：DF=2.4； 【1】2.4

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