题目

如图1，在 中， ， ， ，点D ， E分别为 ， 的中点． 绕点C顺时针旋转，设旋转角为 （ ，记直线 与直线 的交点为点P ． （1） 如图1，当 时， 与 的数量关系为， 与 的位置关系为； （2） 当 时，上述结论是否成立？若成立，请仅就图2的情形进行证明；若不成立，请说明理由； （3） 绕点C顺时针旋转一周，请直接写出运动过程中P点运动轨迹的长度和P点到直线 距离的最大值． 答案： 【1】AD=3BE【2】AD⊥BE 解：结论仍然成立， 理由如下：∵AC= 3 ，BC=1，CD= 32 ，EC= 12 ， ∴ BCAC=33 ， ECCD=33 ， ∴ BCAC=ECDC ， ∵△CDE绕点C顺时针旋转， ∴∠BCE=∠ACD， ∴△BCE∽△ACD， ∴ ADBE=ACBC=3 ，∠CBO=∠CAD， ∴AD= 3 BE， ∵∠CBO+∠BOC=90°， ∴∠CAD+∠AOP=90°， ∴∠APO=90°， ∴BE⊥AD； 解：∵∠APB=90°， ∴点P在以AB为直径的圆上， 如图3，取AB的中点G，作⊙G，以点C为圆心，CE为半径作⊙C，当BE是⊙C切线时，点P到BC的距离最大，过点P作PH⊥BC，交BC的延长线于H，连接GP， ∵BE是⊙C切线， ∴CE⊥BE， ∵sin∠EBC= ECBC=12 ， ∴∠EBC=30°， ∴∠GBP=30°， ∵GB=GP， ∴∠GBP=∠GPB=30°， ∴∠BGP=120°， ∵点P的运动轨迹为点C→点P→点C→点B→点C， ∴P点运动轨迹的长度= 120°×π×1180°=23π ， ∵∠ABP=30°，BP⊥AP， ∴AP= 12 AB=1，BP= 3 AP= 3 ， ∵∠CBP=30°，PH⊥BH， ∴PH= 12 BP= 32 ． ∴P点到直线BC距离的最大值 32 ．

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