题目

如图，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AE=AC，AF⊥CB，垂足为F． （1） 求证：△ABC≌△ADE； （2） 求∠FAE的度数； （3） 求证：CD=2BF+DE． 答案： 证明：∵∠BAD=∠CAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=90°，∠CAD+∠DAE=90°，∴∠BAC=∠DAE，在△BAC和△DAE中，{AB=AD∠BAC=∠DAEAC=AE ，∴△BAC≌△DAE（SAS） 解：∵∠CAE=90°，AC=AE，∴∠E=45°，由（1）知△BAC≌△DAE，∴∠BCA=∠E=45°，∵AF⊥BC，∴∠CFA=90°，∴∠CAF=45°， ∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=45°+90°=135° 证明：延长BF到G，使得FG=FB，∵AF⊥BG，∴∠AFG=∠AFB=90°，在△AFB和△AFG中，{BF=GF∠AFB=∠AFGAF=AF ，∴△AFB≌△AFG（SAS），∴AB=AG，∠ABF=∠G，∵△BAC≌△DAE，∴AB=AD，∠CBA=∠EDA，CB=ED，∴AG=AD，∠ABF=∠CDA，∴∠G=∠CDA，∵∠GCA=∠DCA=45°，在△CGA和△CDA中，{∠GCA=∠DCA∠CGA=∠CDAAG=AD ，∴△CGA≌△CDA （AAS）∴CG=CD，∵CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF，∴CD=2BF+DE．

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