题目

如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=﹣x2+6x﹣5的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其顶点为P，连接PA、AC、CP，过点C作y轴的垂线l． （1） 求点P，C的坐标； （2） 直线l上是否存在点Q，使△PBQ的面积等于△PAC的面积的2倍？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 答案： 解：∵y=﹣x2+6x﹣5=﹣（x﹣3）2+4， ∴顶点P（3，4）， 令x=0得到y=﹣5， ∴C（0．﹣5）． 解：令y=0，x2﹣6x+5=0，解得x=1或5， ∴A（1，0），B（5，0）， 设直线PC的解析式为y=kx+b，则有 {b=−53k+b=4 ， 解得 {k=3b=−5 ， ∴直线PC的解析式为y=3x﹣5，设直线交x轴于D，则D（ 53 ，0）， 设直线PQ交x轴于E，当BE=2AD时，△PBQ的面积等于△PAC的面积的2倍， ∵AD= 23 ， ∴BE= 43 ， ∴E（ 113 ，0）或E′（ 193 ，0）， 则直线PE的解析式为y=﹣6x+22， ∴Q（ 92 ，﹣5）， 直线PE′的解析式为y=﹣ 65 x+ 385 ， ∴Q′（ 212 ，﹣5）， 综上所述，满足条件的点Q（ 92 ，﹣5），Q′（ 212 ，﹣5）．

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