题目

在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠A＜∠ABC，D是AC边上一点，且DA＝DB，O是AB的中点，CE是△BCD的中线. （1） 如图a，连接OC，请直接写出∠OCE和∠OAC的数量关系：； （2） 点M是射线EC上的一个动点，将射线OM绕点O逆时针旋转得射线ON，使∠MON＝∠ADB，ON与射线CA交于点N. ①如图b，猜想并证明线段OM和线段ON之间的数量关系； ②若∠BAC＝30°，BC＝m，当∠AON＝15°时，请直接写出线段ME的长度(用含m的代数式表示). 答案： 【1】∠OCE＝∠OAC 解：如图2中， ∵OC＝OA，DA＝DB， ∴∠A＝∠OCA＝∠ABD， ∴∠COA＝∠ADB， ∵∠MON＝∠ADB， ∴∠AOC＝∠MON， ∴∠COM＝∠AON， ∵∠ECO＝∠OAC， ∴∠MCO＝∠NAO， ∵OC＝OA， ∴△COM≌△AON(ASA)， ∴OM＝ON. ②如图3﹣1中，当点N在CA的延长线上时， ∵∠CAB＝30°＝∠OAN+∠ANO，∠AON＝15°， ∴∠AON＝∠ANO＝15°， ∴OA＝AN＝m， ∵△OCM≌△OAN， ∴CM＝AN＝m， 在Rt△BCD中，∵BC＝m，∠CDB＝60°， ∴BD＝ 233 m， ∵BE＝ED， ∴CE＝ 12 BD＝ 33 m， ∴EM＝CM+CE＝m+ 33 m. 如图3﹣2中，当点N在线段AC上时，作OH⊥AC于H. ∵∠AON＝15°，∠CAB＝30°， ∴∠ONH＝15°+30°＝45°， ∴OH＝HN＝ 12 m， ∵AH＝ 32 m， ∴CM＝AN＝ 32 m﹣ 12 m， ∵EC＝ 33 m， ∴EM＝EC﹣CM＝ 33 m﹣( 32 m﹣ 12 m)＝ 12 m﹣ 36 m， 综上所述，满足条件的EM的值为m+ 33 m或 12 m﹣ 36 m.

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