题目

菱形ABCD中，点P为CD上一点，连接BP． （1）如图1，若BP⊥CD，菱形ABCD边长为10，PD＝4，连接AP，求AP的长． （2）如图2，连接对角线AC.BD相交于点O，点N为BP的中点，过P作PM⊥AC于M，连接ON、MN．试判断△MON的形状，并说明理由． 答案：【解答】解：（1）如图1中，∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝10，AB∥CD ∵PD＝4， ∴PC＝6， ∵PB⊥CD， ∴PB⊥AB， ∴∠CPB＝∠ABP＝90°， 在RT△PCB中，∵∠CPB＝90°PC＝6，BC＝10， ∴PB＝＝＝8， 在RT△ABP中，∵∠ABP＝90°，AB＝10，PB＝8， ∴PA＝＝＝2． （2）△OMN是等腰三角形． 理由：如图2中，延长PM交BC于E． ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，CB＝CD， ∵PE⊥AC， ∴PE∥BD， ∴＝， ∴CP＝CE， ∴PD＝BE， ∵CP＝CE，CM⊥PE， ∴PM＝ME， ∵PN＝NB， ∴MN＝BE， ∵BO＝OD，BN＝NP， ∴ON＝PD， ∴ON＝MN， ∴△OMN是等腰三角形． 【点评】本题考查菱形的性质、平行线分线段成比例定理、三角形中位线定理等知识，解题的关键是添加辅助线构造，利用三角形中位线定理解决问题，属于中考常考题型．

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