题目

2019·山东中考模拟）如图，⊙O的直径AB的长为2，点C在圆周上，∠CAB=30°，点D是圆上一动点，DE∥AB交CA的延长线于点E，连接CD，交AB于点F． （Ⅰ）如图1，当∠ACD=45°时，请你判断DE与⊙O的位置关系并加以证明； （Ⅱ）如图2，当点F是CD的中点时，求△CDE的面积． 答案：（Ⅰ）DE与⊙O相切（2） 【解析】 （1）如图1中，连接OD． ∵∠C=45°， ∴∠AOD=2∠C=90°， ∵ED∥AB， ∴∠AOD+∠EDO=180°， ∴∠EDO=90°， ∴ED⊥OD， ∴ED是⊙O切线． （2）如图2中，连接BC， ∵CF=DF， ∴AF⊥CD， ∴AC=AD， ∴∠ACD=∠ADC， ∵AB∥ED， ∴ED⊥DC， ∴∠EDC=90°， 在RT△ACB中，∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，AB=2， ∴BC=1，AC=， ∴CF=AC=，CD=2CF=， 在RT△ECD中， ∵∠EDC=90°，CD=，∠E=∠CAB=30°， ∴EC=2CD=2，ED==3， ∴S△ECD=•ED•CD=． 考点：切线的判定．

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