题目

如图，抛物线y=ax2+bx（a＜0）过点E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设A（t，0），当t=2时，AD=4． （1）求抛物线的函数表达式． （2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？ （3）保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离． 　 答案：【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=ax（x﹣10）， ∵当t=2时，AD=4， ∴点D的坐标为（2，4）， ∴将点D坐标代入解析式得﹣16a=4， 解得：a=﹣， 抛物线的函数表达式为y=﹣x2+x； （2）由抛物线的对称性得BE=OA=t， ∴AB=10﹣2t， 当x=t时，AD=﹣t2+t， ∴矩形ABCD的周长=2（AB+AD） =2[（10﹣2t）+（﹣t2+t）] =﹣t2+t+20 =﹣（t﹣1）2+， ∵﹣＜0， ∴当t=1时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值为； （3）如图， 当t=2时，点A、B、C、D的坐标分别为（2，0）、（8，0）、（8，4）、（2，4）， ∴矩形ABCD对角线的交点P的坐标为（5，2）， 当平移后的抛物线过点A时，点H的坐标为（4，4），此时GH不能将矩形面积平分； 当平移后的抛物线过点C时，点G的坐标为（6，0），此时GH也不能将矩形面积平分； ∴当G、H中有一点落在线段AD或BC上时，直线GH不可能将矩形的面积平分， 当点G、H分别落在线段AB、DC上时，直线GH过点P，必平分矩形ABCD的面积， ∵AB∥CD， ∴线段OD平移后得到的线段GH， ∴线段OD的中点Q平移后的对应点是P， 在△OBD中，PQ是中位线， ∴PQ=OB=4， 所以抛物线向右平移的距离是4个单位． 　

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