题目

已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F位于直线x+y﹣1=0上． （Ⅰ）求抛物线方程； （Ⅱ）过抛物线的焦点F作倾斜角为45°的直线，交抛物线于A，B两点，求线段AB的中点C的横坐标． 答案：【考点】抛物线的简单性质． 【分析】（Ⅰ）先求出焦点进而求出P，从而求出抛物线的方程； （Ⅱ）先根据抛物线的焦点坐标和直线的倾斜角可表示出直线AB的方程，然后联立直线方程与抛物线方程可得到两根之和与两根之积，进而可得到中点C的横坐标 【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F位于直线x+y﹣1=0上， ∴F（1，0） ∴抛物线方程为y2=4x； （Ⅱ）抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），准线方程为x=﹣1， 直线AB的方程为y=x﹣1， 设点A（x1，y1）、B（x2，y2）． 将y=x﹣1代入y2=4x得x2﹣6x+1=0． 则x1+x2=6，x1•x2=1． 故中点C的横坐标为3． 　

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