题目

已知椭圆＋＝1(a>b>0)过点(－，1)，长轴长为2，过点C(－1,0)且斜率为k的直线l与椭圆相交于不同的两点A，B. (1)求椭圆的方程； (2)若线段AB中点的横坐标是－，求直线l的斜率． 答案：解析　(1)∵椭圆长轴长为2，∴2a＝2.∴a＝. 又∵椭圆过点(－，1)，代入椭圆方程，得＋＝1.∴b2＝. ∴椭圆方程为＋＝1，即x2＋3y2＝5. (2)∵直线l过点C(－1,0)且斜率为k，∴设直线方程为y＝k(x＋1)． 由得(3k2＋1)x2＋6k2x＋3k2－5＝0.∵直线与椭圆相交， ∴Δ＝36k4－4(3k2＋1)(3k2－5)>0，即12k2＋5>0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∵线段AB中点的横坐标是－，则x1＋x2＝2×(－)＝－1.即x1＋x2＝＝－1，解得k＝±.

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