题目

已知，，边所在直线的斜率之积为定值， （1）求动点的轨迹方程； （2）当时，过点的直线与曲线相交于两点，求两点的中点的轨迹方程 答案：（1）当时，动点的轨迹方程为， 当时，动点的轨迹方程为 当时，动点的轨迹方程为 当时，动点的轨迹方程为 当时，动点的轨迹方程为 （2）或 【解析】试题分析：（1）以边所在直线为轴，以边的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，设点的坐标为，由可得，讨论的值可得动点的轨迹方程；（2）由可得，，韦达定理可得，消去参数可得，再考虑动点坐标的取值范围可得结果. 试题解析：以边所在直线为轴，以边的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系 则 设点的坐标为， 则 当时，动点的轨迹方程为， 表示轴所在直线去掉两点剩下的部分 当时，动点的轨迹方程为 表示焦点在轴上的双曲线去掉两点剩下的部分 当时，动点的轨迹方程为 表示焦点在轴上的椭圆去掉两点剩下的部分 当时，动点的轨迹方程为 表示焦点在轴上的椭圆去掉两点剩下的部分 当时，动点的轨迹方程为 表示以为直径的圆去掉两点剩下的部分 （2）当时，动点的轨迹方程为， 当直线的斜率不存在时，显然不可能与有交点，舍去； 当直线的斜率存在时，设的方程为，设， 联立方程组， 消去得： 由题意得：是此方程的解 所以 所以 ，所以得 又直线与动点的轨迹方程有两个不同的焦点， 则 且且， 或 所以两点的中点的轨迹方程为 或

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