题目

设,在平面直角坐标系中,已知向量,向量,,动点的轨迹为E. （1）求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状; （2）已知,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且(O为坐标原点),并求出该圆的方程; (3)已知,设直线与圆C:(1<R<2)相切于A1,且与轨迹E只有一个公共点B1,当R为何值时,|A1B1|取得最大值?并求最大值. 答案：解:（1）因为,,, 所以,    即. 当m=0时,方程表示两直线,方程为; 当时, 方程表示的是圆 当且时,方程表示的是椭圆; 所以,  即且,  即恒成立. 所以又因为直线为圆心在原点的圆的一条切线, 所以圆的半径为,, 所求的圆为. 当切线的斜率不存在时,切线为,与交于点或也满足. 综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且. (3)当时,轨迹E的方程为,设直线的方程为,因为直线与圆C:(1<R<2)相切于A1, 由（2）知,  即    ①, 因为与轨迹E只有一个公共点B1, 由（2）知得, 即有唯一解 则△=,    即,     ② 由①②得,   此时A,B重合为B1(x1,y1)点, 由 中,所以,, B1(x1,y1)点在椭圆上,所以,所以, 在直角三角形OA1B1中,因为当且仅当时取等号,所以,即 当时|A1B1|取得最大值,最大值为1.

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