题目

已知函数f（x）=x2﹣（2a+1）x+alnx． （1）当a=3时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （2）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间； （3）若对任意时，恒有ma﹣f（x）＜1成立，求实数m的取值范围． 答案：解： （I）当a=3时，f（x）=x2﹣（2a+1）x+alnx=x2﹣7x+3lnx， ∴f′（x）=2x﹣7+，…………………………………………………………1分 ∴f′（1）=﹣2， ∵f（1）=1﹣7=﹣6， ∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：2x+y+4=0．………………….3分 （II）f′（x）=2x﹣（2a+1）+  =，………………………………4分 令f′（x）=0，得x1=，x2=a．…………………………………………………………5分 ①当a＞时，由f′（x）＞0，得x＞a，或x＜， f（x）在（0，），（a，+∞）是单调递增． 由f′（x）＜0，得＜x＜a， ∴f（x）在（，a）上单调递减．………………………………………………….6分 ②当a=时，f′（x）≥0恒成立， ∴f（x）在（0，+∞）上单调递增．………………………………………………7分 ③当0＜a＜时，由f′（x）＞0，得0＜x＜a，或x＞， ∴f（x）在（0，a），（，+∞）上单调递增， 由f′（x）＜0，得a＜x＜， ∴f（x）在（a，）上单调递减．…………………………………………………..8分 综上所述，当0＜a＜时，f(x)的单调递增区间是（0，a），（，+∞）， 递减区间是（a，）； 当a=时，f(x)的单调递增区间是（0，+∞），无递减区间； 当a＞时，f(x)的单调递增区间是（0，），（a，+∞），递减区间是（，a）…..9分 （III）由题意可知，对∀a∈（，），x∈[1，3]时，恒有ma﹣f（x）＜1成立 等价于ma﹣1＜f（x）min，………………………………………………………10分 由（II）知，当a∈（，）时，f（x）在[1，3]上单调递增 ∴f（x）min=f（1）=﹣2a， ∴原题等价于对∀a∈（，）时，ma﹣1＜﹣2a恒成立，……………….12分 即m＜=﹣2，在a∈（，）时，有0＜﹣2＜1． 故当m≤0时，ma﹣1＜﹣2a恒成立， ∴m≤0．                                   

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