题目

定长为3的线段的两个端点分别在轴，轴上滑动，动点满足. （1）求点的轨迹曲线的方程； （2）若过点的直线与曲线交于两点，求的最大值. 答案：（1）（2） 【解析】 试题分析：（Ⅰ），由，得，由向量相等可求出点的轨迹方程． （Ⅱ）当过点的直线为时，，当过点的直线不为时，可设为，联立，并化简得：，由此利用韦达定理、根的判别式、向量的数量积结合已知条件克求出的最大值. 试题解析：（1）设，由，得， 即， 又因为，所以，化简得：，这就是点的轨迹方程. （2）当过点的直线为时，， 当过点的直线不为时，可设为，联立，并化简得：，由韦达定理得：，， 所以 又由恒成立，所以，对于上式，当时，， 综上所述的最大值为. 考点：直线与圆锥曲线的位置关系 【点评】本题考查点的轨迹方程的求法，以及向量的数量积的最大值的求法，属中档题.解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．

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