题目

（2019·四川中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数y＝（x＞0，k是常数）的图象交于A（a，2），B（4，b）两点． （1）求反比例函数的表达式； （2）点C是第一象限内一点，连接AC，BC，使AC∥x轴，BC∥y轴，连接OA，OB．若点P在y轴上，且△OPA的面积与四边形OACB的面积相等，求点P的坐标． 答案：(1) 反比例函数的表达式为y＝（x＞0）;(2) 点P的坐标为（0，4）或（0，﹣4） 【解析】 （1）∵点A（a，2），B（4，b）在一次函数y＝﹣x+3的图象上， ∴﹣a+3＝2，b＝﹣×4+3， ∴a＝2，b＝1， ∴点A的坐标为（2，2），点B的坐标为（4，1）， 又∵点A（2，2）在反比例函数y＝的图象上， ∴k＝2×2＝4， ∴反比例函数的表达式为y＝（x＞0）； （2）延长CA交y轴于点E，延长CB交x轴于点F， ∵AC∥x轴，BC∥y轴， 则有CE⊥y轴，CF⊥x轴，点C的坐标为（4，2） ∴四边形OECF为矩形，且CE＝4，CF＝2， ∴S四边形OACB＝S矩形OECF﹣S△OAE﹣S△OBF ＝2×4﹣×2×2﹣×4×1 ＝4， 设点P的坐标为（0，m）， 则S△OAP＝×2•|m|＝4， ∴m＝±4， ∴点P的坐标为（0，4）或（0，﹣4）． 【点睛】 此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，直线与坐标轴的交点，待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．

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