题目

设函数f(x)的定义域为(－3,3)，满足f(－x)＝－f(x)，且对任意x，y，都有f(x)－f(y)＝f(x－y)，当x<0时， f(x)>0，f(1)＝－2. (1)求f(2)的值； (2)判断f(x)的单调性，并证明； (3)若函数g(x)＝f(x－1)＋f(3－2x)，求不等式g(x)≤0的解集． 答案： (1) 在f(x)－f(y)＝f(x－y)中，令x＝2，y＝1，代入得： f(2)－f(1)＝f(1)，所以f(2)＝2f(1)＝－4. ……………3分 (2) f(x)在(－3,3)上单调递减．证明如下： 设－3<x1<x2<3，则x1－x2<0， 所以f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2)>0， 即f(x1)>f(x2)， 所以f(x)在(－3,3)上单调递减．  ……………………7分 (3) 由g(x)≤0得f(x－1)＋f(3－2x)≤0， 所以f(x－1)≤－f(3－2x)． 又f(x)满足f(－x)＝－f(x)， 所以f(x－1)≤f(2x－3)，          ………………………9分 又f(x)在(－3,3)上单调递减，所以  -3<2x－3≤ x－1<3 ，即 解得0<x≤2， 故不等式g(x)≤0的解集是(0,2]．   

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