题目

18.函数f（x）是定义在［0,1］上的增函数，满足f（x）=2f（）且f（1）=1,在每个区间（,）（i=1,2,…）上，y=f（x）的图象都是平行于x轴的直线的一部分.（Ⅰ）求f（0）及f（），f（）的值，并归纳出f（）（i=1,2,…）的表达式；（Ⅱ）设直线x=，x=，x轴及y=f（x）的图象围成的矩形的面积为ai（i=1,2,…）,求a1、a2及（a1+a2+…+an）的值. 答案：18.本小题主要考查函数、数列等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力.解：（Ⅰ）由f（0）=2f（0）,得f（0）=0.由f（1）=2f（）及f（1）=1,得f（）=f（1）=.同理，f（）=f（）=.归纳得f（）=（i=1,2,…）.（Ⅱ）当＜x≤时，f（x）=,a1=,a2=,ai=（－）=（i=1,2,…）.所以｛an｝是首项为,公比为的等比数列.所以（a1+a2+…+an）==.

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