题目
18.函数f(x)是定义在[0,1]上的增函数,满足f(x)=2f()且f(1)=1,在每个区间(,)(i=1,2,…)上,y=f(x)的图象都是平行于x轴的直线的一部分.(Ⅰ)求f(0)及f(),f()的值,并归纳出f()(i=1,2,…)的表达式;(Ⅱ)设直线x=,x=,x轴及y=f(x)的图象围成的矩形的面积为ai(i=1,2,…),求a1、a2及(a1+a2+…+an)的值.
答案:18.本小题主要考查函数、数列等基本知识,考查分析问题和解决问题的能力.解:(Ⅰ)由f(0)=2f(0),得f(0)=0.由f(1)=2f()及f(1)=1,得f()=f(1)=.同理,f()=f()=.归纳得f()=(i=1,2,…).(Ⅱ)当<x≤时,f(x)=,a1=,a2=,ai=(-)=(i=1,2,…).所以{an}是首项为,公比为的等比数列.所以(a1+a2+…+an)==.