题目

如图,已知三棱锥P—ABC中,PA⊥平面ABC,AB=PA=a,且△ABC为正三角形,M、N为边PB、PC上的点,PC⊥平面AMN.(1)求PB与平面PAC所成的角;(2)求的值;(3)求二面角P-AM-N的大小. 答案：解：(1)取AC中点D,连结BD、PD.∵PA⊥平面ABC,PA平面PAC,△ABC为正三角形,∴BD⊥平面PAC,PD为PB在平面PAC上的射影.∴∠BPD即为PB与平面PAC所成的角.由PA=AB=a得BD=a,PB=a,∴sin∠BPD==.∴∠BPD=arcsin,即PB与平面PAC所成的角为arcsin.(2)由PC⊥平面AMN知PC⊥AN,MN⊥PC.又△PAC为等腰直角三角形,PA=AC.∴N为PC中点.PN=a.在△BPC中,cos∠BPC==.在Rt△MPN中,PM==a.∴MB=a-a=a.∴=2.(3)过N作NE⊥AM于E.连结PE.∵PN⊥平面AMN,∴NE为PE在平面AMN上的射影.∴PE⊥AM.∴∠PEN为二面角P-AM-N的平面角.在△PAM中,∠APM=45°,AP=a,PM=a.∴AM=a2+(=a.∴AM·PE=PA·AM·sin∠APM.∴PE= a·.∴sin∠PEN===.∴∠PEN=arcsin,即二面角P-AM-N的大小为arcsin.

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