题目

已知函数f(x)＝ax3＋bx2的图象过点M(1,4)，曲线在点M处的切线恰好与直线x＋9y＝0垂直． (1)求实数a，b的值； (2)若函数f(x)在区间[m，m＋1]上单调递增，求m的取值范围． 答案：解：(1)∵f(x)＝ax3＋bx2的图象经过点M(1,4)， ∴a＋b＝4.① f′(x)＝3ax2＋2bx， 则f′(1)＝3a＋2b. 由已知得f′(1)·＝－1， 即3a＋2b＝9.② 由①②，得a＝1，b＝3. (2)f(x)＝x3＋3x2，f′(x)＝3x2＋6x， 令f′(x)＝3x2＋6x≥0， 得x≥0或x≤－2， 故由f(x)在[m，m＋1]上单调递增，得[m，m＋1]⊆[0，＋∞)或[m，m＋1]⊆(－∞，－2]， ∴m≥0或m＋1≤－2， 即m≥0或m≤－3. ∴m的取值范围为(－∞，－3]∪[0，＋∞)．

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