题目

如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(m，m)，点B的坐标为(n，－n)，抛物线经过A，O，B三点，连接OA，OB，AB，线段AB交y轴于点C.已知实数m，n(m<n)是方程的两根． (1)求抛物线的解析式． (2)若P为线段OB上的一个动点(不与点O，B重合)，直线PC与抛物线交于D，E两点(点D在y轴右侧)，连接OD，BD. ①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标； ②求△BOD面积的最大值，并写出此时点D的坐标．             答案：解：(1)解方程x2－2x－3＝0，得x1＝3，x2＝－1. ∵m＜n，∴m＝－1，n＝3. ∴A(－1，－1)，B(3，－3)．  …………（2分） ∵抛物线过原点， ∴可设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx，得  解得 ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x.  …………（4分） (2)①设直线AB的解析式为y＝kx＋b，根据题意，得   解得 ∴直线AB的解析式为y＝－x－，  …………（5分） ∴C(0，－)． 又∵直线OB的解析式为y＝－x， 故设P(x，－x)．    …………………（6分） ∵△OPC为等腰三角形，则 Ⅰ)当OC＝OP时，x2＋(－x)2＝， 解得x1＝，x2＝－(舍去)， ∴P1(，－)． (Ⅱ)当PO＝PC时，x2＋(－x)2＝x2＋(x－)2， 解得x＝， ∴P2(，－)． (Ⅲ)当OC＝PC时，x2＋(x－)2＝， 解得x1＝，x2＝0(舍去)， ∴P3(，－)． 综上所述，点P的坐标为(，－)或(，－)或(，－)．  ……（9分） ②设D(x，y)(x＞0)． 分别过点D，B作DG⊥y轴于点G，BF⊥y轴于点F， 则G(0，y)，F(0，－3)， ∴S△BOD＝SRt△ODG＋S梯形DGFB－SRt△OBF 　　　 ＝x×(－y)＋(x＋3)×(3＋y)－×3×3 　　　 ＝－xy＋x＋xy＋＋y－ 　　　 ＝y＋x. 又∵y＝－x2＋x， ∴S△BOD＝－x2＋x＝－(x－)2＋.  …………（11分） ∵0＜x＜3， ∴当x＝时，S△BOD的最大值为， 此时D(，－)．

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